mathmetod - Производная и дифференциал функции

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.
Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.
Производная обозначается символами y ' , f ' (xo),

.
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t0.

Таблица производных элементарных функций

Таблица производных

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа.
Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Правила дифференцирования общих функций

$external image diff_rules.gif$

Калькулятор для решения производных

Задание. Найти производную функции external image formules_1650.png

Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:
external image formules_1651.png

Ответ. external image formules_1656.png

Задание. Найти производную сложной функции external image formules_1658.png

Решение. Используем правила дифференцирования элементарных и сложных функций:
external image formules_1659.png

Ответ. external image formules_1663.png

Производная высшего порядка
Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

Задание.	Найти производную второго порядка функции
Решение.	Согласно определению, вторая производная - это первая производная от первой производной, то есть Поэтому сначала найдем производную первого порядка от заданной функции согласно правилам дифференцирования и используя таблицу производных: Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это будет искомая производная второго порядка:
Ответ.